Pour calculer l'instant du lever ou du coucher d'un astre dont on suppose connues les coordonnées équatoriales approchées alpha et delta au moment du phénomène considéré, on calcule d'abord l'angle horaire H au moment du lever ou du coucher par la formule :
+ (1) cos H = (sin h0 - sin phi sin delta)/(cos phi cos delta)
où phi est la latitude du lieu et h0 un angle petit qui sera défini plus loin.
+ (2) Le temps sidéral approché du lever est alors (2a) T = alpha - H ,et celui du coucher est(2b) T = alpha + H

On calcule ensuite, à partir de T, l'instant du phénomène en Temps universel.
Si l'astre se déplace rapidement sur la sphère céleste (c'est le cas pour le Soleil, certaines planètes et surtout la Lune), on calcule pour l'instant trouvé des coordonnées alpha et delta plus exactes en interpolant les tables et l'on recalcule H puis T, par les formules (1) et (2), d'où l'instant du phénomène en UT. Pour la Lune on est quelquefois amené à effectuer une itération supplémentaire.

Quant à h0, son expression générale est la suivante :
h0 = P - R - 1/2 d - eta1 + eta2
+ P est parallaxe on néglige pour tous les astres sauf pour la Lune pour laquelle on la prend égale à 57'.
+ R est la réfraction à l'horizon. Les tables publiées dans l'annuaire du Bureau des longitudes utilisent la théorie de la réfraction de Radau qui conduit à R = 36' 36" mais l'on pourra utiliser la valeur R = 34' adoptée dans les Ephémérides Nautiques publiées par le Bureau des Longitudes et dans d'autres publications étrangères.
+ 1/2 d est le demi-diamètre apparent de l'astre. On l'introduit dans la formule quand on calcule le lever et le coucher du bord supérieur du Soleil et de la Lune et non pas le lever et le coucher du centre de l'astre. On prend, aussi bien pour le Soleil que pour la Lune, 1/2 d = 16'.

Si l'observateur est à une altitude A au-dessus du niveau de la mer on introduit dans h0 l'angle eta1 donné par :
cos eta1 = a / (a + A), où a est le rayon de la Terre.
On prend a = 6,378,140 m. On peut utiliser la formule approchée :
eta1 = 1' 56" racine carrée de(A)
A étant exprimé en mètres.

je voie que le livre de zige Tunisien donne un bon resumé (page 31), ca ma pris de temp pour comprendre (surtout avec les sinus et les cosinus en arabe [job et tajob ])
mais bon je commence peut à peut à comprendre les ephemerides !!

Excellente réponse de FIRAS; bien complète.
Pour MAXULASTRO, ton raisonnement est intuitif et bon mais il est valable seulement pour un plan (le plan de la projection que tu as décrite, plan perpendiculaire à l'horizon passant par le pôle nord). Du coup, on assimile les angles sur la sphère céleste à leurs sinus et leurs cosinus à 1 et on pourra pas apporter les corrections nécessaires dues à la réfraction et la parallaxe de façon rigoureuse.

Merci Becvar !!!
Y a t'il une autre probleme ???
j'espere qu'elle sera peu compliqué et qu'est relié au ephemerides !!!

Nous avons vu tous le Soleil se lever ou se coucher. La trajectoire diurne apparente du Soleil au lever ou au coucher fait un angle qu'on va appeller "kappa". Du point de vue intuitif on peut dire que cet angle vaut 90° à l'équateur. Que vaut il ailleurs?

si elle est à 90° à l'éqauteur, c'est quel est dans l'une des deux points d'intersection entre l'équateur celéste et l'écliptique, donc à ce temps et dans ce cas particulier kappa= 180° - (90+ latitude du lieu)

Dans un lieu de latitude égale à 66,65°, le complément de 23,45°, déclinaison du soleil le jour du Solstice d'été, quand le soleil frolera l'horizon nord à minuit, l'angle kappa sera théoriquement égal à 0 modulo pi. D'après ta formule, on obtiendra 23.45° <> 0°

Malheureusement ta formule est si simple qu'elle tient pas.
Je te pose une question, est ce que tu as vu une formule astronomique relative à l'astronomie des positions sans sinus ou cosinus? ça existe mais c'est très rare.

Alors, tente une autre démarche.
Comme suggestion , il ya une formule rapportée par Firas qui va t'aider.
C'est un exercice pas très simple mais faisable.
Bon courage.

Il s'agit de calculer la tangente de l'angle "kappa", en faisant la remarque que celle-ci est égale au rapport de la variation en hauteur sur la variation en azimuth.
Y a t il une solution?

si j'ai bien compris la probleme,je croie que cette formule peut bien l'aidée en calculant l'angle horaire H :
cos H = (sin h0 - sin phi sin delta)/(cos phi cos delta)

C'est vrai en calculant l'angle horaire, on arrive à determiner l'angle kappa, mais H est en fait une variable auxilière puisque kappa n'en dépend pas.
Alors que dis-tu?

Quels sont les formules de transformation des coordonnées horaires en coordonnées horizontales?
A partir de ces formules la résolution devient simple.

Connaissant les valeurs respectives AH et δ de l'angle horaire et de la déclinaison, la hauteur h et l'azimuth Z peuvent être obtenus grâce aux trois formules suivantes :

où l'angle φ représente la latitude astronomique du lieu d'observation.

mais comment faire aprés pour résoudre le probleme ???
j'ai pas trouvé de solution jusqu'à présent !!!

Il existe plusieurs méthodes
Une des plus difficiles est la suivante:

h est la hauteur de l'astre par rapport à l'horizon, H son angle horaire, a son azimut et dec sa déclinaison. Phi est la latitude du lieu d'observation.

On a:

sin h = sin (phi) sin (dec) + cos (phi) cos (dec) cos H

En dérivant h par rapport à H, on obtient:

cos h dh= - cos (phi) cos (dec) sin H dH;
soit pour h=0 :

dh/dH= - cos (phi) cos (dec) sin H

d'autres part pour "a" azimuth, on a,

sin H cos (dec) = sin (a) cos h;

d'où en dérivant:

cos H cos (dec) dH = -sin h sin (a) dh + cos (a) cos h da

or h=0 d'où

cos H cos (dec) dH = cos (a) da

ainsi da/dH = cos H cos (dec) /cos(a)


or tan (kappa) = dh/da = dh/dH dH/da
=- cos (phi) tg H cos(a)

et sin(dec) = - cos(a) cos h cos (phi) + sin h sin (phi)
d'où pour h=0

cos(a) = -sin(dec) / cos (phi)

ainsi
pour h=0,
tg (kappa) = tg(H) *sin(dec)

or cos H = -tg(phi) tg(dec)
et

cos² (kappa) = 1/(1+tg² kappa)

or 1 + tg²(kappa) = (cos² H + sin² H *sin² (dec))/ cos² (H)

or cos² H + sin² H *sin² (dec) = tg²(phi)* tg²(dec) *(1-sin²(dec)) +sin² (dec) = sin²(dec) * ( tg²(phi) +1) = sin²(dec)/cos²(phi)

d'où 1+tg²(kappa) = cos²(dec)/ sin²(phi)

et parsuite cos(kappa) = +/- sin(phi)/cos(dec)

Ainsi, à l'équateur , phi=0, donc tous les astres ont des trajectoires perpendiculaires à l'horizon au moment du lever et du coucher.
Autre propriété, une étoile circumpolaire ne se couche pas, donc kappa n'existe pas car son cos>1, ce qui est le cas si:
sin(phi)> cos(dec) càd dec>90°-phi.

Lent et compliqué, n'est ce pas, et surtout pas simple, mais il existe une méthode beaucoup plus courte. Qui aura la réponse?

Avant de passer à la méthode la plus courte, je n'est pas compris cette formule!!

Becvar a écrit:

et parsuite cos(kappa) = +/- sin(phi)/cos(dec)

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+/- c'est plus ou moins, donc c'est plus ou moins sin(phi)/cos(dec)